广义相对论：弯曲的时空

时空观是现代物理学中非常重要的概念，本系列文章将讲解时间，空间，引力到底是什么。从牛顿力学到狭义相对论，再到广义相对论背后的原理，数学推导过程都详细介绍！

目标读者：读完《狭义相对论：时空的革命》，对四维时空有初步了解。本篇会引入更多数学工具，每一步都会详细解释。

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第一章　从狭义到广义：未解之谜

1.1 狭义相对论的局限

狭义相对论建立在惯性参考系的基础上。在匀速直线运动的飞船里，一切物理定律与地面实验室一致——这就是相对性原理。

但现实世界中，惯性系几乎不存在：

• 地球在自转，地面上的实验室有微小的离心加速度。
• 地球绕太阳公转，也处于加速状态（向心加速度）。
• 太阳绕银河系中心运动……

更根本的问题：引力怎么办？

1.2 牛顿引力的问题

牛顿万有引力定律：

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

这是一个瞬间传播的超距作用——两个物体之间的引力无需时间就可传递。如果太阳突然消失，地球会立刻脱离轨道。

但根据狭义相对论，任何信息传播速度都不能超过光速。光从太阳到地球需要 $8$分钟。这两者直接矛盾。

1.3 爱因斯坦的十年探索

1905年狭义相对论发表后，爱因斯坦开始思考如何将引力纳入相对论框架。这花了他整整十年时间，涉及大量新数学。

关键突破来自一个简单的思想实验——等效原理。

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第二章　等效原理：广义相对论的基石

2.1 思想实验：电梯中的物理学

场景一：你在一个完全密封的电梯里，感到脚底有压力，四肢感到重量。这有两种可能：

• 你在地球表面，受到引力 $g=9.8{\text{m/s}}^2$。
• 你在太空中，电梯以加速度 $a=9.8{\text{m/s}}^2$向上加速。

你无法区分这两种情况。

场景二：你在密封电梯里，感到失重，手里的球放开后静止悬浮。这也有两种可能：

• 你在太空深处，远离一切引力源。
• 你在自由下落的电梯里（坠落状态）。

同样，你无法区分。

2.2 弱等效原理

这个思想实验的基础是：惯性质量等于引力质量。

• 惯性质量 $m_i$：出现在牛顿第二定律中， $F=m_{i}a$，描述物体抵抗加速度的能力。
• 引力质量 $m_g$：出现在引力定律中， $F=G{m}_{g}M/r^2$，描述物体受引力的能力。

这两个质量先验上没有理由相等，但实验表明它们在极高精度上相等：

$$\frac{m_i}{m_g}=1\pm {10}^{-13}$$

弱等效原理（WEP）：在引力场中，所有物体以相同的加速度下落，与其质量和组成无关（伽利略的比萨斜塔实验）。

2.3 强等效原理

爱因斯坦将等效原理推广为：

在足够小的时空区域内，引力场与适当加速参考系中的效应完全等效，不仅对力学，对一切物理规律都如此。

"足够小"的限制是必要的，因为引力场在大范围内并不均匀（潮汐效应），而均匀加速系是完全均匀的。但在局部小区域，它们无法区分。

2.4 等效原理的两个重要推论

推论一：光线在引力场中弯曲

在加速电梯中，水平射入的光束，由于电梯加速向上，在电梯参考系中看起来是向下弯曲的（这不违背狭义相对论，因为光仍在直线传播，是参考系在加速）。

由等效原理，引力场中也会发生同样的效应：光线在引力场中弯曲。这是广义相对论最戏剧性的预言之一。

推论二：引力红移

在加速电梯中，向上发射的光信号到达顶部时频率会降低（向红端移动）——因为顶部以更快速度远离光源（多普勒效应）。

由等效原理，从引力场中射出的光会发生引力红移：光子爬出引力井时，频率降低，波长变长。

公式（弱场近似）：

$$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }=-\frac{g\mathrm{\Delta }h}{c^2}=-\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{c^2}$$

其中 $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$是引力势差。

2.5 实验验证

• 厄缶实验（1889）：精确验证惯性质量等于引力质量，精度达 ${10}^{-9}$，现代实验已达 ${10}^{-13}$。
• 庞德-雷布卡实验（1959）：在哈佛大学 $22.5\text{m}$高的塔中测量引力红移，与广义相对论预测吻合，误差 $1\mathrm{\%}$。

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第三章　弯曲时空的数学准备

等效原理告诉我们引力弯曲时空，但要定量描述"弯曲的时空"，需要强大的数学工具——黎曼几何。

3.1 欧几里得几何与非欧几何

我们中学学的几何（平行线不相交、三角形内角和为180°）是欧几里得几何，描述平直空间。

但还有其他几何：

• 球面几何：球面上两条经线（“平行线”）会在两极相交；球面三角形内角和大于180°。
• 双曲面几何：类似马鞍面，三角形内角和小于180°。

引力弯曲时空，意味着时空的几何是黎曼几何（非欧几何的一般化）。

3.2 流形的直觉理解

**流形（Manifold）**是一个局部看起来像平直空间，但整体可以是弯曲的数学对象。

类比：地球是球形，但站在地面上的小区域内，你会觉得地面是平的。每一小块"局部平直"，整体上球形。

四维时空就是一个四维流形。在每一个极小的时空区域里，时空局部平直（狭义相对论成立），整体上可以是弯曲的。

3.3 坐标系与坐标变换

在流形上，我们用坐标来标注点的位置，就像地球上的经纬度。但不同坐标系描述的是同一物理，物理规律必须在坐标变换下保持形式不变——这叫广义协变性。

爱因斯坦的野心是：物理方程在任意坐标变换（不仅是洛伦兹变换）下保持形式不变。

3.4 度规张量

最根本的问题：如何测量弯曲空间中两点之间的距离？

在平直三维空间中，微小位移 $(dx,dy,dz)$的长度平方为：

$$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$$

在平直四维时空（闵可夫斯基）中：

$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$$

在弯曲时空中，这个公式需要推广。引入度规张量 $g_{\mu \nu }$（ $\mu ,\nu =0,1,2,3$）：

$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

这里用到了爱因斯坦求和约定：重复的上下标自动求和，即：

$$g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=\sum _{\mu =0}^3\sum _{\nu =0}^3{g}_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

$g_{\mu \nu }$是一个 $4\times 4$的对称矩阵，共有 $10$个独立分量。它的值随时空位置变化，完全决定了时空的几何。

平直时空的度规（闵可夫斯基度规）：

$${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

弯曲时空： $g_{\mu \nu }$偏离 ${\eta }_{\mu \nu }$，且随位置变化——这就是引力的表现。

3.5 张量简介

张量是可以在任意坐标变换下按特定规则变换的数学对象。

• 标量（0阶张量）：一个数，在坐标变换下不变。如温度 $T$。
• 向量（1阶张量，逆变）：有方向的量。在坐标变换 $x^{{\mu }^{\prime }}=x^{{\mu }^{\prime }}(x^{\nu })$下，变换规则为：

$$V^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}{V}^{\nu }$$

• 协变向量（1阶张量，协变）：变换规则为：

$$V_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{V}_{\nu }$$

• 度规张量（2阶协变张量）：

$$g_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\nu }^{\prime }}}{g}_{\mu \nu }$$

张量方程如果在一个坐标系中成立，在所有坐标系中都成立——这是广义协变性的数学表达。

3.6 克里斯托费尔符号（联络系数）

在弯曲空间中，向量沿曲线如何"平行移动"？这需要引入联络。

克里斯托费尔符号（也叫第二类克里斯托费尔符号或列维-奇维塔联络）：

$${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \sigma }({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \sigma }+{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \sigma }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu })$$

其中 ${\partial }_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$， $g^{\lambda \sigma }$是度规的逆矩阵（满足 $g^{\mu \nu }{g}_{\nu \lambda }={\delta }_{\lambda }^{\mu }$）。

${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$共有 $4^3=64$个分量，但由于 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }={\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\lambda }$（对称性），只有 $40$个独立分量。

注意：克里斯托费尔符号不是张量！它在坐标变换下的行为更复杂。

物理含义：它描述了时空弯曲如何影响向量的方向，是计算粒子在弯曲时空中运动轨迹的关键。

3.7 协变导数

在平直空间中，普通偏导数 ${\partial }_{\mu }{V}^{\nu }$对向量求导。但在弯曲空间中，这不是张量——坐标变换后形式会改变。

我们需要协变导数，它在弯曲空间中扮演普通导数的角色：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}^{\nu }={\partial }_{\mu }{V}^{\nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\nu }{V}^{\lambda }$$$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{V}_{\nu }={\partial }_{\mu }{V}_{\nu }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }{V}_{\lambda }$$

协变导数的结果是张量，保证物理方程在任意坐标变换下形式不变。

克里斯托费尔符号中的"修正项"恰好补偿了坐标系本身的弯曲效应。

3.8 黎曼曲率张量

曲率描述空间弯曲的程度。如何定量定义曲率？

关键思路：把一个向量沿封闭回路平行移动一圈，若回到原处后向量方向改变了，说明空间是弯曲的！

黎曼曲率张量 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$描述这种效应，由克里斯托费尔符号的导数构成：

$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }$$

$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$共有 $4^4=256$个分量，但利用对称性可以减少到 $20$个独立分量。

物理意义：黎曼张量完整描述时空弯曲。如果 $R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=0$，时空平直；不为零则弯曲。

3.9 里奇张量与里奇标量

黎曼张量分量太多，不方便写方程。我们对它"缩并"（取迹）得到更简单的量。

里奇张量：对黎曼张量取一次缩并：

$$R_{\mu \nu }=R^{\lambda }{}_{\mu \lambda \nu }$$

里奇张量是对称的（ $R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$），有 $10$个独立分量。

里奇标量（曲率标量）：再取一次迹：

$$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$$

里奇标量是一个数（标量），代表时空曲率的"平均"强度。

3.10 爱因斯坦张量

爱因斯坦在寻找场方程时，需要一个满足特殊条件的张量（与能量动量守恒相容）。他定义：

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$$

这就是爱因斯坦张量。它满足恒等式（比安基恒等式的推论）：

$${\mathrm{\nabla }}^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0$$

这个性质后面会发挥关键作用。

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第四章　测地线：弯曲时空中的"自由运动"

4.1 平直空间中的最短路径

在平直空间中，两点之间的最短路径是直线。自由运动的粒子走直线。

4.2 弯曲空间中的测地线

在弯曲空间中，"最短路径"的概念推广为测地线——局部最短（或更精确地说，作用量取极值）的曲线。

球面上的测地线是大圆弧（比如地球上两城市之间的最短航线）。

4.3 测地线方程的推导

在四维时空中，粒子的世界线用参数 $\lambda$描述： $x^{\mu }(\lambda )$。测地线满足：

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\lambda }}{d\lambda }=0$$

这就是测地线方程。克里斯托费尔符号的作用是修正空间曲率引起的"偏转"。

类比：这就像在弯曲表面上"尽可能走直线"——方向感觉一直在变，但那是因为表面本身是弯的。

4.4 自由落体即是测地线运动

广义相对论的核心洞见：

在引力场中自由运动（只受引力，无其他力）的物体，走的是时空中的测地线。

牛顿告诉我们，苹果因为受到地球引力而加速下落，引力是一个力。

爱因斯坦说：不，地球周围的时空是弯曲的，苹果实际上在弯曲时空中做最自然的运动——走测地线。那感觉像是"被力拉着"，其实是弯曲时空的几何效应。

站在地面上的你反而不是在做测地线运动——地面给你一个向上的支持力，使你偏离测地线（自由下落轨迹）。你体重的来源是地面阻止你沿测地线自由下落。

4.5 弱场近似：回收牛顿引力

如果引力场很弱（ $g_{\mu \nu }$接近 ${\eta }_{\mu \nu }$），粒子速度远小于光速，从测地线方程可以推导出：

$${\ddot{x}}^i\approx -\frac{c^2}{2}{\partial }_i{h}_{00}$$

其中 $h_{00}=g_{00}-1$是度规对平直时空的微小偏离。

对比牛顿引力 ${\ddot{x}}^i=-{\partial }_i\mathrm{\Phi }$（ $\mathrm{\Phi }$是引力势），可以得到：

$$g_{00}\approx 1+\frac{2\mathrm{\Phi }}{c^2}$$

在地球表面附近， $\mathrm{\Phi }=-GM/r$，于是：

$$g_{00}\approx 1-\frac{2GM}{r{c}^2}$$

这意味着：引力势就是时空度规的一部分，时间分量的偏离决定了引力势的强弱。

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第五章　爱因斯坦场方程

5.1 能量-动量张量

时空如何被物质弯曲？我们需要一个量来描述物质（能量、动量、压力）的分布。

能量-动量张量 $T^{\mu \nu }$是一个 $4\times 4$对称张量，10个独立分量，含义如下：

• $T^{00}$：能量密度（单位体积的能量）。
• $T^{0i}=T^{i0}$：动量密度（即能量流密度）。
• $T^{ij}$：应力（包括压强，描述动量的流动）。

对于理想流体（最简单的物质模型，气体和星体的近似）：

$$T^{\mu \nu }=(\rho +\frac{p}{c^2})u^{\mu }{u}^{\nu }-p{g}^{\mu \nu }$$

其中 $\rho$是能量密度， $p$是压强， $u^{\mu }$是流体四维速度。

$T^{\mu \nu }$满足守恒方程（能量和动量守恒）：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$$

5.2 场方程的直觉

爱因斯坦场方程的基本思想是：

$$\text{时空弯曲}=\text{常数}\times \text{物质-能量}$$

左边应该是描述时空弯曲的张量（与度规有关），右边是能量动量张量。

候选的弯曲张量应该：

• 是 $2$阶对称张量（与 $T^{\mu \nu }$匹配）。
• 只含度规的二阶导数（就像牛顿引力的泊松方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho$是二阶的）。
• 满足 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\cdot )=0$，以保证与 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$（能量守恒）相容。

爱因斯坦张量 $G_{\mu \nu }$正好满足所有这些条件！

5.3 爱因斯坦场方程

$$\boxed{{\displaystyle G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }}}$$

展开写：

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

这是 $10$个（非线性，二阶偏微分）方程，联立求解度规 $g_{\mu \nu }$。

系数 $8\pi G/c^4$的来历：通过弱场近似，要求场方程退化为牛顿泊松方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho$，由此确定系数。

这个方程有多难解？ $T^{\mu \nu }=0$（真空）时，场方程变为：

$$R_{\mu \nu }=0$$

即使是这个"简化"方程，也是一个复杂的非线性偏微分方程组。精确解非常稀少。

5.4 宇宙学常数

爱因斯坦在1917年研究宇宙学时，为了得到静态宇宙（当时人们认为宇宙是静止的），在场方程中加入了宇宙学常数项：

$$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

$\mathrm{\Lambda }$代表"真空的能量密度"，相当于给空空间本身赋予了能量。

后来哈勃发现宇宙在膨胀，爱因斯坦称加入 $\mathrm{\Lambda }$是他"一生中最大的错误"。但1998年，天文观测发现宇宙在加速膨胀，宇宙学常数又被重新引入，被解释为暗能量。目前 $\mathrm{\Lambda }$的物理本质仍然未知。

5.5 弱场线性化：回收牛顿引力

设 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$，其中 $|h_{\mu \nu }|\ll 1$（弱引力场）。

保留 $h_{\mu \nu }$的一阶项，场方程线性化为：

$$◻{\overline{h}}_{\mu \nu }=-\frac{16\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

其中 $◻={\partial }^2/c^2\partial t^2-{\mathrm{\nabla }}^2$是达朗贝尔算子， ${\overline{h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }h$（迹反转）。

在静态弱场且粒子速度远小于光速时，这退化为：

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho$$

正是牛顿引力的泊松方程。广义相对论在弱场低速极限下完美包含了牛顿引力。

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第六章　史瓦西解与黑洞

6.1 史瓦西解的推导思路

1915年，场方程发表几周内，卡尔·史瓦西（Karl Schwarzschild）就在第一次世界大战的战壕中找到了第一个精确解：球对称真空时空。

对称性假设：

• 质量为 $M$的球对称天体，外部为真空（ $T_{\mu \nu }=0$）。
• 时空是球对称的（各方向对称）。
• 时空是静态的（不随时间变化）。

在球坐标 $(t,r,\theta ,\varphi )$下，最一般的球对称静态度规形式为：

$$d{s}^2=e^{2\alpha (r)}{c}^{2}d{t}^2-e^{2\beta (r)}d{r}^2-r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$$

其中 $d{\mathrm{\Omega }}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$是单位球面元素。

将此代入真空场方程 $R_{\mu \nu }=0$，解微分方程，得到两个待定函数：

$$e^{2\alpha }=e^{-2\beta }=1-\frac{r_s}{r}$$

其中 $r_s$是积分常数。通过弱场近似（与牛顿引力对比），确定 $r_s=2GM/c^2$，即史瓦西半径。

6.2 史瓦西度规

$$\boxed{{\displaystyle d{s}^2=(1-\frac{r_s}{r})c^{2}d{t}^2-{(1-\frac{r_s}{r})}^{-1}d{r}^2-r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2}}$$

其中 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$。

几个特殊点：

• $r\to \mathrm{\infty }$：度规趋向闵可夫斯基度规（平直时空），远离质量时恢复正常。
• $r=r_s$（史瓦西半径）： $g_{tt}=0$， $g_{rr}\to \mathrm{\infty }$，度规系数发散。这是坐标奇点——不是真正的物理奇点，可以通过换坐标消除，但对应一个特殊的物理边界：事件视界。
• $r=0$：里奇标量 $R^{\mu \nu \lambda \sigma }{R}_{\mu \nu \lambda \sigma }\to \mathrm{\infty }$，是真正的物理奇点，时空曲率无穷大。

6.3 史瓦西半径与黑洞

不同天体的史瓦西半径：

天体	质量	史瓦西半径	实际半径
地球	$6\times {10}^{24}\text{kg}$	$\approx 9\text{mm}$	$6400\text{km}$
太阳	$2\times {10}^{30}\text{kg}$	$\approx 3\text{km}$	$70\text{万km}$
典型黑洞	$10M_{\odot }$	$\approx 30\text{km}$	$<30\text{km}$

正常天体的实际半径远大于史瓦西半径，史瓦西度规只在天体表面以外有效，所以没有事件视界。

黑洞：若天体被压缩到小于其史瓦西半径，就形成了事件视界——一个光也无法逃离的边界。

6.4 事件视界的物理意义

在事件视界 $r=r_s$处，坐标时间和固有时之间的关系：

$$d\tau =\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}dt$$

当 $r\to r_s$时， $d\tau \to 0$——从外部观测者看，落入黑洞的物体时间越走越慢，永远无法穿越事件视界（对外部观测者而言时间变得无限长）。

而对于自由下落的宇航员，他的固有时是有限的——他会在有限时间内穿越事件视界，之后不可避免地到达奇点。

一旦越过事件视界，连光都无法逃出，外部观测者永远无法收到视界内的任何信息。

6.5 引力时间膨胀

从史瓦西度规直接可以读出引力时间膨胀：

$$\frac{d\tau }{dt}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}=\sqrt{1-\frac{2GM}{r{c}^2}}$$

在距质量 $M$为 $r$处，时钟走得比无穷远处的时钟慢。质量越大、距离越近，时间越慢。

实际应用：GPS卫星在 $20200\text{km}$轨道上，引力时间膨胀使卫星时钟每天快约 $45.9\mu \text{s}$（引力弱，时钟快），同时狭义相对论的速度时间膨胀使时钟每天慢约 $7.2\mu \text{s}$，净效应是每天快 $38.7\mu \text{s}$。如果不做校正，GPS定位误差会累积到每天约 $10\text{km}$。

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第七章　广义相对论的经典验证

广义相对论做出了若干牛顿力学无法解释的预言，都得到了精确验证。

7.1 水星近日点进动

水星的椭圆轨道并非固定，椭圆本身也会缓慢旋转，近日点（离太阳最近的点）每世纪进动 ${5600}^{″}$（角秒）。

其中 ${5025}^{″}$是地球自转轴进动引起的坐标效应；其余天体的引力摄动贡献 ${532}^{″}$。剩下的 ${43}^{″}$无法用牛顿力学解释，困扰了天文学家几十年，甚至有人猜测太阳内部有颗小行星。

广义相对论预测，水星近日点进动额外 ${43.03}^{″}$/世纪。测量值 $43.11\pm {0.45}^{″}$/世纪。完美吻合。

计算公式（近圆轨道近似）：

$$\mathrm{\Delta }\varphi =\frac{6\pi GM}{c^{2}a(1-e^2)}$$

其中 $a$是轨道半长轴， $e$是离心率。

7.2 光线弯曲（1919年日食实验）

广义相对论预测，掠过太阳边缘的光线会弯曲：

$$\delta \varphi =\frac{4G{M}_{\odot }}{c^2{R}_{\odot }}\approx {1.75}^{″}$$

（牛顿力学也能预测光线弯曲，但只得到 ${0.875}^{″}$，只有广义相对论的一半。）

1919年，爱丁顿爵士率领两支探险队在日食期间拍摄太阳附近的恒星位置，与夜间正常位置对比。测量结果： $1.61\pm {0.30}^{″}$（非洲队）， $1.98\pm {0.12}^{″}$（巴西队），都与广义相对论预测吻合，与牛顿预测有显著差异。

爱因斯坦因此成为世界名人（《泰晤士报》头版：“牛顿被推翻”）。

现代精确测量（用射电望远镜观测类星体被太阳掩食）与广义相对论预测吻合到 $0.02\mathrm{\%}$。

7.3 引力红移（庞德-雷布卡实验）

由等效原理，引力场中光子爬升会发生红移：

$$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }=-\frac{gh}{c^2}$$

1959年，庞德（Pound）和雷布卡（Rebka）在哈佛大学 $22.5\text{m}$高的塔中，利用穆斯堡尔效应（极精密的 $\gamma$射线频率标准）测量引力红移。

理论预测： $\mathrm{\Delta }\nu /\nu =2.46\times {10}^{-15}$。实验测量误差约 $1\mathrm{\%}$，与理论完美吻合。

7.4 引力时间延迟（夏皮罗延迟）

1964年，夏皮罗（Shapiro）预测：光信号经过大质量天体附近时，由于时空弯曲，传播时间会比真空中的直线传播更长。

从雷达回波实验（向水星、金星发射雷达，测量回波时间）测量到这一效应，与广义相对论预测吻合到 $0.1\mathrm{\%}$。

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第八章　引力波

8.1 时空涟漪的预言

麦克斯韦电磁学中，加速运动的电荷辐射电磁波。类比地，在广义相对论中，加速运动的质量应该辐射引力波——时空本身的涟漪。

爱因斯坦在1916年就预言了引力波，但认为效应太小，可能永远无法探测。

8.2 引力波方程的线性化推导

在弱场近似下（ $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$），真空场方程线性化为（选择洛伦兹规范 ${\partial }^{\mu }{\overline{h}}_{\mu \nu }=0$）：

$$◻{\overline{h}}_{\mu \nu }=0$$

即：

$$(\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2){\overline{h}}_{\mu \nu }=0$$

这是波动方程！说明时空扰动以光速传播——引力波以光速传播。

8.3 引力波的偏振

引力波是横波，有两种偏振模式，称为 “ $+$” 极化和 “ $\times$” 极化。

$+$极化：在垂直传播方向的平面内， $x$方向拉伸时 $y$方向压缩，交替变化：

$$h_{+}=A\cos (\omega t-kz)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

$\times$极化：旋转 $45°$的版本：

$$h_{\times }=A\cos (\omega t-kz)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

引力波会导致空间中两点间距离交替拉伸和压缩。效应的大小用应变 $h=\mathrm{\Delta }L/L$表示。

8.4 LIGO 探测原理

**LIGO（激光干涉引力波观测站）**利用迈克尔逊干涉仪探测引力波。

两臂各长 $4\text{km}$，激光在臂中来回反射约 $300$次（有效臂长 $\sim 1200\text{km}$）。

引力波通过时，两臂交替拉伸压缩，光程差发生变化，干涉条纹移动。

需要探测的应变：

$$h=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}\sim {10}^{-21}$$

即在 $4\text{km}$臂长上，需要测量 $\mathrm{\Delta }L\sim 4\times {10}^{-18}\text{m}$，比质子直径还小1000倍！这是人类建造过的最精密仪器。

8.5 2015年首次直接探测

2015年9月14日，LIGO探测到第一个引力波信号 GW150914。

信号来源：两个质量分别约 $36M_{\odot }$和 $29M_{\odot }$的黑洞并合，距地球约 $13$亿光年。

• 两黑洞并合前互绕加速，频率和幅度增大（啁啾信号）。
• 并合瞬间释放约 $3M_{\odot }{c}^2$的引力波能量，峰值功率约 $3.6\times {10}^{49}\text{W}$——比全宇宙可见光的总功率还高 $50$倍。
• 信号持续约 $0.2\text{s}$，LIGO测到的最大应变约 ${10}^{-21}$。

这一发现验证了广义相对论100年前的预言，开创了引力波天文学。

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第九章　宇宙学：广义相对论的最大舞台

9.1 宇宙学原理

研究整个宇宙的演化，需要做一个合理假设：

宇宙学原理：在足够大的尺度上（> 1亿光年），宇宙是均匀的（各处密度相同）且各向同性的（各方向相同）。

这不是简单的简化，有观测支持——宇宙微波背景辐射（CMB）在各方向上仅有 ${10}^{-5}$的温度起伏。

9.2 FLRW 度规

在宇宙学原理下，最一般的时空度规是弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克（FLRW）度规：

$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-a(t{)}^2[\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2]$$

其中：

• $t$是宇宙时（随宇宙一起膨胀的观测者的固有时）。
• $a(t)$是尺度因子，描述宇宙的相对大小（今天 $a(t_0)=1$）。
• $k$是曲率参数： $k=+1$（正曲率，球形宇宙）、 $k=0$（平坦宇宙）、 $k=-1$（负曲率，双曲宇宙）。观测表明 $k\approx 0$（宇宙极度接近平坦）。

宇宙膨胀的信息全部编码在 $a(t)$中。

9.3 弗里德曼方程

将 FLRW 度规代入爱因斯坦场方程，并假设宇宙中物质为理想流体，得到弗里德曼方程：

$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$$$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2})+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$$

其中 $\dot{a}=da/dt$， $\rho$是能量密度， $p$是压强。

第一个方程是"能量方程"（类比能量守恒），第二个是"加速方程"。

9.4 宇宙膨胀与哈勃定律

定义哈勃参数：

$$H(t)=\frac{\dot{a}}{a}$$

今天的哈勃常数 $H_0\approx 70\text{km/s/Mpc}$（每兆秒差距每秒70公里）。

对于离我们不太远的星系，速度 $v$和距离 $d$的关系为：

$$v=H_0\cdot d$$

这就是哈勃定律——距离越远，退行速度越大。这不是星系在空间中运动，而是空间本身在膨胀。

9.5 大爆炸模型

从弗里德曼方程可以逆推：在过去某一时刻 $t=0$， $a(t)\to 0$，宇宙从一个极高温高密的状态开始膨胀——大爆炸。

宇宙年龄（ $k=0$，以辐射+物质+暗能量主导）约为 $138$亿年。

宇宙微波背景（CMB）：大爆炸后约 $38$万年，宇宙冷却到电子和质子结合成氢原子，光子与物质脱耦，在宇宙中自由传播。今天观测到的 CMB 就是这批光子，温度约 $2.725\text{K}$，是大爆炸的"余辉"，也是广义相对论宇宙学的强力证据。

9.6 暗能量与宇宙加速膨胀

1998年，两个独立团队通过观测 Ia 型超新星（标准烛光）发现：宇宙正在加速膨胀，而不是按照普通物质的引力应该表现出的减速膨胀。

这要求宇宙中存在具有负压强的成分，使 $\ddot{a}>0$。宇宙学常数 $\mathrm{\Lambda }$（暗能量）是最简单的解释。

目前宇宙的能量组成（精确到近年观测）：

• 普通物质：约 $5\mathrm{\%}$
• 暗物质：约 $27\mathrm{\%}$
• 暗能量：约 $68\mathrm{\%}$

暗物质和暗能量的本质至今未知，是宇宙学最大的未解之谜。

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第十章　总结：相对论的统一图景

10.1 从牛顿到爱因斯坦的演进

理论	时空观	引力	适用范围
牛顿力学	绝对时间、绝对空间	超距瞬时力	低速、弱引力
狭义相对论	四维闵可夫斯基时空（平直）	未包含	任意速度、弱引力
广义相对论	四维黎曼弯曲时空	时空曲率	任意速度、任意引力

10.2 广义相对论的核心思想

一句话总结：物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。（惠勒语）

数学上：

• 爱因斯坦场方程 $G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$描述物质如何弯曲时空。
• 测地线方程 $\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\lambda }}{d\lambda }=0$描述物体在弯曲时空中如何运动。

10.3 广义相对论的未解问题

奇点问题：广义相对论预言奇点（黑洞中心、大爆炸起点）的存在，但奇点处曲率无穷大，理论本身失效。这是广义相对论的内在局限，预示需要更深刻的理论。

量子引力：广义相对论是经典理论，量子力学是量子理论，两者语言完全不同。在普朗克尺度（ $l_P=\sqrt{\hslash G/c^3}\approx {10}^{-35}\text{m}$），量子效应和引力效应同等重要，必须有统一的量子引力理论。

目前的候选理论：

• 弦理论：认为基本粒子是一维弦振动，在额外维度中自然包含引力。
• 圈量子引力（LQG）：将时空本身量子化，认为时空是由离散的"自旋泡沫"构成的，无需额外维度。

两者都尚未得到实验验证，量子引力依然是21世纪理论物理最大的挑战——物理学的圣杯。

10.4 结语

爱因斯坦的相对论是人类智识史上最伟大的成就之一。从一个对时钟和光速的简单追问，到彻底重写时间与空间的基本语言；从牛顿的绝对宇宙，到弯曲的、动态的、膨胀的时空图景——这不仅是物理学的革命，也是人类认知宇宙方式的革命。

而这一切，始于爱因斯坦16岁时的一个问题：

“如果我以光速追着一束光跑，我会看到什么？”

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附录A：数学工具速查

符号	名称	说明
$g_{\mu \nu }$	度规张量	定义时空距离，10个独立分量
${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }$	克里斯托费尔符号	描述时空弯曲对平行移动的影响，40个独立分量
$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }$	黎曼曲率张量	完整描述时空弯曲，20个独立分量
$R_{\mu \nu }$	里奇张量	黎曼张量缩并，10个独立分量
$R$	里奇标量	曲率的标量量度
$G_{\mu \nu }$	爱因斯坦张量	$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$
$T_{\mu \nu }$	能量-动量张量	描述物质分布，10个独立分量

附录B：核心方程

爱因斯坦场方程：

$$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

测地线方程：

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\lambda }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\lambda }\frac{d{x}^{\lambda }}{d\lambda }=0$$

史瓦西度规：

$$d{s}^2=(1-\frac{2GM}{r{c}^2})c^{2}d{t}^2-{(1-\frac{2GM}{r{c}^2})}^{-1}d{r}^2-r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$$

弗里德曼方程：

$$H^2={\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho +\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}-\frac{k{c}^2}{a^2}$$

史瓦西半径：

$$r_s=\frac{2GM}{c^2}$$

参考&致谢

• claude